第十章：假設檢定：類別資料 (Hypothesis Testing: Categorical Data)

Author

Prof. AI

Published

June 28, 2026

10.1 導言與列聯表：數人頭的統計學

同學們，前面我們花了很多篇幅在處理「連續型資料」（如血壓、體重、體溫）的平均值比較。但在臨床醫學和流行病學的實際場景中，我們遇到的資料往往是「分類」的。

例如：

  • 某人是否吸菸（是/否）與是否得肺癌（是/否）。
  • 服用新感冒藥後是否痊癒（痊癒/未痊癒）。
  • 患者對新療法的反應等級（無效/好轉/治癒）。

對於這類資料，我們不量測平均數，而是「數人頭」——統計落在每一個分類的次數 (frequency) 或人數。 要呈現兩個類別型變項的交叉分布，我們使用列聯表 (contingency table)。最經典的結構就是 \(2 \times 2\) 列聯表，如下所示：

暴露/分組  結果 疾病 (+) 健康 (-) 總計
暴露組 (Group 1) \(a\) (觀察值 \(O_{11}\)) \(b\) (觀察值 \(O_{12}\)) \(a+b\) (列總計 \(n_1\))
非暴露組 (Group 2) \(c\) (觀察值 \(O_{21}\)) \(d\) (觀察值 \(O_{22}\)) \(c+d\) (列總計 \(n_2\))
總計 \(a+c\) (行總計 \(m_1\)) \(b+d\) (行總計 \(m_2\)) \(n\) (總人數)

本章，我們就要學習如何對列聯表中的「比例」或「獨立性」進行假設檢定。

10.2 卡方獨立性檢定：觀察 vs. 期望

當我們想檢定「暴露組」與「非暴露組」的患病比例是否有顯著差異，或者說「分組」與「患病結果」這兩個變項是否相互獨立時，最常用的方法就是皮爾森卡方檢定 (Pearson's Chi-square test)。

  • 虛無假設 \(H_0\)：兩個變項相互獨立（即兩組的患病比例沒有顯著差異， \(\pi_1 = \pi_2\)）。
  • 對立假設 \(H_1\)：兩個變項相互關聯（比例有顯著差異）。

10.2.1 期望頻數的計算

如果虛無假設 \(H_0\) 成立（即兩組完全沒有差別），那麼每個格子理論上「應該」有多少人？這就叫做期望頻數 (expected frequency, \(E\))。 對於行列聯表中的第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的格子，其期望頻數為：

\[E_{ij} = \frac{\text{第 } i \text{ 行總計} \times \text{第 } j \text{ 列總計}}{\text{總人數 } n}\]

10.2.2 卡方檢定統計量

卡方檢定統計量衡量的是：我們的實際觀察頻數 (observed frequency, \(O\)) 與理論上的期望頻數 (\(E\)) 之間的差距有多大：

\[\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}\]

在 \(2 \times 2\) 列聯表中，這個統計量服從自由度 \(df = 1\) 的卡方分布。如果卡方值愈大（代表實際人數跟理論期望人數差距愈大），p 值就會愈小。

10.2.3 葉氏連續性修正 (Yates' Continuity Correction)

就像我們用常態分布逼近二項分布需要連續性修正一樣，卡方分布是一個連續型分布，而我們數的人頭是離散的整數。在 \(2 \times 2\) 列聯表中，為了避免高估顯著性（防範第一型錯誤），我們通常會進行葉氏連續性修正：

\[\chi^2_{\text{Yates}} = \sum \frac{(|O - E| - 0.5)^2}{E}\]

10.3 小樣本救星：費雪精確檢定

卡方檢定雖然好用，但它是一個「大樣本逼近」的方法。

  • 卡方檢定的禁忌：如果列聯表中，有任何一個格子的期望頻數 \(E < 5\)（或者總樣本數 \(n < 40\)），卡方檢定算出來的 p 值就會變得非常不準確！

這時，我們必須請出小樣本的救星——費雪精確檢定 (Fisher's exact test)。 費雪精確檢定不使用常態或卡方近似，而是直接利用超幾何分布 (hypergeometric distribution) 的機率公式，去精確地算出在行列總計固定下，出現我們眼前這張列聯表（以及比它更極端的所有可能表）的精確機率。

因為是精確計算，所以不論樣本多小（哪怕某個格子只有 0 人），費雪檢定都依然百分之百準確！

10.4 配對類別資料：麥尼瑪檢定

如果我們的類別型數據不是獨立的，而是配對的，該怎麼辦？

  • 例如：同一組病患在服用新藥「前」流感篩檢陽性率，與服用「後」陽性率的比較。
  • 例如：100 對配對的病例與對照組，看他們某種基因突變率的差異。

此時，我們使用麥尼瑪檢定 (McNemar's test)。 在麥尼瑪檢定中，我們關注的不是那些兩次結果都相同的「一致對」（例如前後都是陽性，或前後都是陰性），而是那些前後結果發生改變的「不一致對」 (discordant pairs, 列聯表中的 \(b\) 與 \(c\))。

其檢定統計量（帶有連續性修正）為：

\[\chi^2 = \frac{(|b - c| - 1)^2}{b + c}, \quad df = 1\]

10.5 實戰演練：流感疫苗預防效果之卡方檢定

現在，我們打開 RStudio。我們設計了以下流感疫苗隨機臨床試驗（\(n = 120\)）：

  • 招募 120 位受試者，隨機分派為「疫苗組 (Vaccine)」60 人與「對照組 (Placebo)」60 人。
  • 冬季結束後記錄他們是否罹患流感。
    • 疫苗組：5 人罹患流感，55 人健康。
    • 對照組：15 人罹患流感，45 人健康。

我們想檢定疫苗組的流感罹患率，是否顯著低於對照組。

10.5.1 R 程式碼實作

# 1. 載入 ggplot2 繪圖套件
library(ggplot2)

# 2. 建立流感疫苗 2x2 列聯表
# 矩陣排列方式：列為組別，行為流感狀態 (罹病, 健康)
contingency_table <- matrix(c(5, 55, 15, 45), nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(contingency_table) <- c("疫苗組 (Vaccine)", "對照組 (Placebo)")
colnames(contingency_table) <- c("罹患流感 (Flu Yes)", "未罹患流感 (Flu No)")

# 3. 執行卡方獨立性檢定
# correct = TRUE 代表執行 Yates 連續性修正 (預設值)
chi_yates_res <- chisq.test(contingency_table, correct = TRUE)

# correct = FALSE 代表不執行修正
chi_raw_res <- chisq.test(contingency_table, correct = FALSE)

# 4. 執行費雪精確檢定 (Fisher's Exact Test)
fisher_test_res <- fisher.test(contingency_table)

# 輸出結果
cat("=========================================\n")
cat(" 2x2 列聯表原始數據\n")
cat("=========================================\n")
print(contingency_table)

cat("\n=========================================\n")
cat(" 卡方檢定結果 (含 Yates 連續性修正)\n")
cat("=========================================\n")
print(chi_yates_res)
cat("期望頻數 (Expected Frequencies):\n")
print(chi_yates_res$expected)

cat("\n=========================================\n")
cat(" 費雪精確檢定結果\n")
cat("=========================================\n")
print(fisher_test_res)

# =======================================================
# 5. 資料整理與 ggplot2 分組百分比長條圖繪製
# =======================================================
plot_df <- data.frame(
  Group = c("疫苗組 (Vaccine)", "疫苗組 (Vaccine)", "對照組 (Placebo)", "對照組 (Placebo)"),
  Status = c("罹患流感 (Yes)", "健康 (No)", "罹患流感 (Yes)", "健康 (No)"),
  Count = c(5, 55, 15, 45)
)

# 計算組內百分比 (疫苗組基數 60, 對照組基數 60)
plot_df$Percentage <- c(5/60, 55/60, 15/60, 45/60) * 100

p_bar <- ggplot(plot_df, aes(x = Group, y = Percentage, fill = Status)) +
  # 繪製分組長條圖 (dodge 代表並排)
  geom_col(position = "dodge", alpha = 0.85, color = "#2d3748", width = 0.6) +
  # 在長條上方加入百分比標籤
  geom_text(aes(label = paste0(round(Percentage, 1), "%")), 
            position = position_dodge(0.6), vjust = -0.5, size = 5.8, 
            color = "#2d3748", family = "Noto Sans CJK TC", fontface = "bold") +
  scale_fill_manual(values = c("健康 (No)" = "#48bb78", "罹患流感 (Yes)" = "#e53e3e")) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 105)) +
  labs(
    title = "流感疫苗臨床試驗預防效果比較",
    subtitle = "呈現兩組病患流感感染率百分比與人數",
    x = "試驗分組 (Group)",
    y = "比例 Percentage (%)",
    fill = "流感狀態"
  ) +
  theme_minimal(base_family = "Noto Sans CJK TC", base_size = 15) + # Windows 請替換為 Microsoft JhengHei
  theme(
    plot.title = element_text(size = 22, hjust = 0.5, color = "#2d3748"),
    plot.subtitle = element_text(size = 16, hjust = 0.5, color = "#718096"),
    axis.title = element_text(size = 18, color = "#4a5568"),
    axis.title.x = element_text(margin = margin(t = 10)),
    axis.title.y = element_text(margin = margin(r = 12)),
    axis.text = element_text(size = 16, color = "#2d3748"),
    legend.title = element_text(size = 16, color = "#4a5568"),
    legend.position = "bottom",
    panel.background = element_rect(fill = "#f7fafc", color = NA),
    plot.background = element_rect(fill = "white", color = NA),
    plot.margin = margin(20, 28, 20, 54)
  )

# 顯示並儲存圖檔
print(p_bar)
ggsave("figs/vaccine_effectiveness.png", plot = p_bar, width = 8.1, height = 6.1, dpi = 300)

10.5.2 執行結果與圖表解讀

在 R 中執行程式後，控制台主要輸出：

  1. 卡方檢定（含葉氏修正）： X-squared = 4.86, df = 1, p-value = 0.02749。 因為 \(p = 0.027 < 0.05\)，代表疫苗組與對照組的流感罹患率有顯著差異。

  2. 期望頻數診斷： 兩組的罹病期望人數均為 10人，健康期望人數為 50人。 因為所有格子的期望頻數都 \(\ge 5\)（最小的是 10 人），所以使用卡方檢定是安全且合適的。

  3. 費雪精確檢定： p-value = 0.02569。 算出的精確 \(p\) 值為 0.026。勝算比 (Odds Ratio, OR) 的估計值約為 0.27，這代表疫苗組罹患流感的「勝算」只有對照組的 0.27 倍，換句話說，新疫苗能顯著降低流感罹患風險。

同時，figs/ 資料夾下會生成以下圖表：

Figure 10.1: 流感疫苗預防效果分組長條圖

數據診斷分析與決策：

  • 從並排長條圖中可以看出，對照組有高達 25.0% 的受試者感染流感（紅色長條），而疫苗組僅有 8.3% 的受試者感染。
  • 這兩個百分比之間的落差在統計學上達到了顯著水準（\(p < 0.05\)），證明了該款新疫苗在冬季確實具有顯著的預防流感保護效力。

10.6 本章名詞對照表 (Glossary)

中文名稱 英文名稱 定義與說明
類別資料 Categorical data 代表定性特徵、以分組頻數或次數呈現的非數值度量資料類型。
列聯表 Contingency table 將兩個或多個類別型變項之交叉頻數整理成矩陣網格的統計表格。
卡方獨立性檢定 Chi-square test of independence 利用觀察頻數與期望頻數的離差，檢驗兩個類別變項是否相互獨立的統計方法。
觀察頻數 Observed frequency 在列聯表各網格中，實際觀測到的人數或頻數。
期望頻數 Expected frequency 在虛無假設（變項獨立）成立的理論下，列聯表各網格預期應有的人數。
葉氏連續性修正 Yates' continuity correction 在 2x2 列聯表卡方檢定中，為彌補連續分佈逼近離散計數之誤差所進行的偏差修正。
費雪精確檢定 Fisher's exact test 適用於小樣本（期望頻數小於 5）列聯表，基於超幾何分布計算精確機率的無母數檢定。
麥尼瑪檢定 McNemar's test 適用於配對或相依類別型資料，分析前後比例是否發生顯著改變的卡方檢定。
一致對 Concordant pairs 配對資料中，兩次測量或兩組對應觀測結果相同的配對（如均為陽性或均為陰性）。
不一致對 Discordant pairs 配對資料中，兩次測量或兩組對應觀測結果相異的配對，為麥尼瑪檢定的分析焦點。
分組長條圖 Grouped bar chart 在同一分類軸上並排多個長條，用以直觀比較多組別比例或頻數差異的圖表。