第二章：敘述統計學 (Descriptive Statistics)

Author

Prof. AI

Published

June 28, 2026

2.1 導言：為什麼不能直接看原始數據？

同學們，上完第一章後，相信你們已經準備好要大顯身手了。

想像一下，你今天參與了一項探討「新型降血脂藥物對臨床患者的效果」的研究。護理師遞給你一張 Excel 表單，上面密密麻麻地寫著 200 位患者的血清膽固醇濃度數值： 220, 195, 240, 188, 310, 215, 205, 250, ...（後面還有 192 個數字）。

主任走過來問你：「所以，這群患者的膽固醇狀況怎麼樣？」

如果你直接把這 200 個數字唸給他聽，我保證主任會在聽到第 10 個數字時，就用眼神把你「超渡」了。

這就是為什麼我們需要敘述統計學 (descriptive statistics)。原始數據（raw data）就像是剛從市場買回來的生肉，你不能直接塞進嘴裡吃，必須經過烹調（整理、摘要、繪圖），才能變成美味好入口的佳餚。本章，我們就要學習如何使用統計指標與圖表，把雜亂無章的數據變成一眼就能看懂的醫學結論。

2.2 中心趨勢的量度：數據的「錨點」在哪裡？

當我們拿到一組數據，第一個想知道的就是：這組數據大約落在什麼地方？這在統計學上叫做中心趨勢 (central tendency) 或位置量度 (measures of location)。

我們常用的中心趨勢指標有四種，它們各有脾氣和適用場景：

2.2.1 算術平均數 (Arithmetic Mean)

這大概是大家最熟悉的指標了，簡稱平均數 (mean)。它的計算方法就是把所有數值加起來，再除以樣本數 \(n\)：

\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\]

  • 優點：非常直覺，用到了每一個數據的資訊。
  • 致命弱點：極度容易受到離群值 (outlier) 的影響！

💡 教授的幽默提醒： 假設我們班上 5 個同學的月收入分別是 3 萬、3.2 萬、2.8 萬、3.1 萬跟 2.9 萬元，平均收入是 3 萬元。聽起來非常符合大一新生的真實狀況。 這時候，特斯拉創辦人馬斯克（Elon Musk）突然走進教室，說他要加入我們班。馬斯克的月收入假設是 3 億元。如果此時我們重新計算全班的「平均月收入」，答案會暴增到大約 5,000 萬元！ 瞬間，我們每個人「平均」都變成了千萬富翁。這合理嗎？顯然不合理。這就是平均數容易被極端值拉偏的壞脾氣。

2.2.2 中位數 (Median)

為了對付馬斯克這種極端值，我們發明了中位數 (median)。 它的定義很簡單：把所有數據從小到大排列，最中間的那一個數字就是中位數。

  • 如果樣本數 \(n\) 是奇數，中位數就是第 \(\frac{n+1}{2}\) 個數值。
  • 如果樣本數 \(n\) 是偶數，中位數就是最中間兩個數值的平均值，即第 \(\frac{n}{2}\) 與第 \(\frac{n}{2} + 1\) 個數值的平均。

中位數非常「頑強」，對離群值完全免疫。不論馬斯克賺多少錢，中位數依然會守在班上最中間那位同學的薪水（約 3 萬元）附近。

2.2.3 眾數 (Mode)

數據中出現頻率最高的那個數值。在醫學上，我們常用於描述類別資料，例如：患者中人數最多的血型是「O型」（此時 O 型就是眾數）。有時候一組數據可能會有兩個眾數，稱為雙峰分布 (bimodal distribution)。

2.2.4 幾何平均數 (Geometric Mean)

這是一個在生物醫學界非常重要、但非統計背景的人常常忽略的指標！ 幾何平均數的計算公式是將所有數值相乘後開 \(n\) 次方根：

\[GM = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n}\]

🔬 為什麼生物醫學界超愛幾何平均數？ 在免疫學或病毒學中，像是抗體效價（antibody titer）或是病毒載量（viral load）這類數據，數值的變化通常不是 1, 2, 3 這樣相加的，而是以倍數（如 10, 100, 1000）呈指數成長。這類數據分佈極度不對稱，呈現嚴重的右偏分布 (positively skewed distribution)。 如果直接計算算術平均數，結果會被少數極高的病毒量帶偏；此時，將數據取對數（logarithm）後算平均，再指數還原回來的幾何平均數，才是最能客觀反映真實抗體/病毒濃度的指標。

2.3 離散趨勢的量度：數據的「波浪」有多大？

單單知道「中心」在哪裡是不夠的。

💡 臨床實務警告： 假設加護病房有兩位糖尿病患，他們整天測量下來的「平均血糖值」都是 140 mg/dL。主治醫師可以直接認為兩人的血糖控制得一樣好嗎？ 絕對不行！

  • 病患甲的血糖非常穩定，整天都在 130 ~ 150 mg/dL 之間微幅波動（變異極小，非常安全）。
  • 病患乙的血糖卻像坐雲霄飛車，清晨低到 40 mg/dL（隨時有低血糖休克死亡的危險），下午又飆到 240 mg/dL（嚴重高血糖）。 兩人的平均血糖雖然相同，但病患乙的血糖波動劇烈，正面臨極大的生命危險！

這就說明了，我們除了知道平均值，還必須知道數據的波動範圍，也就是離散趨勢 (measures of spread / dispersion)。

2.3.1 全距 (Range)

最簡單的離散指標，就是最大值減去最小值：

\[\text{Range} = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}\]

缺點很明顯：只用了最大跟最小兩個數值，無法得知中間其他數據的變異狀況，且同樣極易受極端值干擾。

2.3.2 變異數 (Variance) 與標準差 (Standard Deviation)

為了衡量每個數據距離「平均值」有多遠，我們使用變異數 (variance, 通常樣本變異數記為 \(s^2\)) 與標準差 (standard deviation, 簡寫為 SD，記為 \(s\))。

樣本變異數的公式為：

\[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}\]

而標準差就是變異數的平方根：

\[s = \sqrt{s^2}\]

🙋‍♂️ 教授，為什麼公式的分母是 \(n - 1\) 而不是 \(n\)？ 這在統計學上叫做自由度 (degrees of freedom)。因為我們在算變異數時，已經先借用了「樣本平均值 \(\bar{x}\)」這個資訊，這使得最後一個離差數值不再自由（所有的離差相加必須等於 0）。為了得到對母體變異數的無偏估計 (unbiased estimate)，我們必須除以 \(n - 1\)。記住，這不是算術平均，這是統計學的特有規則！

標準差的單位與原始數據相同（例如膽固醇是 mg/dL，標準差單位也是 mg/dL），這讓我們在解釋臨床意義時非常方便。標準差愈大，代表這群患者之間的個體差異愈大。

2.3.3 變異係數 (Coefficient of Variation, CV)

當你想比較兩個單位不同、或者平均值相差極大的數據時，標準差就英雄無用武之地了。此時，我們需要變異係數 (CV)：

\[CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%\]

例如，你想比較「小鼠體重（平均 30 公克，標準差 3 公克）」與「大象體重（平均 5000 公斤，標準差 200 公斤）」哪一個波動更大？

  • 小鼠的 \(CV = (3 / 30) \times 100\% = 10\%\)
  • 大象的 \(CV = (200 / 5000) \times 100\% = 4\%\) 結果一目了然：小鼠體重的相對變異程度，其實比大象還要大！

2.4 統計圖表之美：直方圖與箱形圖

除了數字，視覺化的圖表往往能傳達更多訊息。本章我們介紹醫學論文最常見的兩種圖表：

2.4.1 直方圖 (Histogram)

將連續型變項的數值區間切分成好幾個等寬的小區間（組距），再統計落在每個區間的個案數。直方圖能讓我們一眼看出數據的分布形狀（是像鐘形的對稱分布，還是往某邊傾斜的偏態分布）。

2.4.2 箱形圖 (Box Plot)

箱形圖（又稱盒鬚圖）是呈現數據「五數綜合」的視覺神器。這五個數分別是：最小值、第一四分位數 (\(Q_1\))、中位數（\(Q_2\) 或 \(Median\)）、第三四分位數 (\(Q_3\))、最大值。

下圖展示了箱形圖的解構：

      離群值 (Outlier)  o (高於 Q3 + 1.5 * IQR)
                        |
     最大非離群值 ------+------- (上限 = Q3 + 1.5 * IQR 內的最大值)
                        |
                        +------- 第三四分位數 Q3 (第 75 百分位數)
                        |     |
                        |中位 |
                        | 數  |--- 中位數 Median (第 50 百分位數)
                        |     |
                        +------- 第一四分位數 Q1 (第 25 百分位數)
                        |
     最小非離群值 ------+------- (下限 = Q1 - 1.5 * IQR 外的最小值)
                        |
      離群值 (Outlier)  o (低於 Q1 - 1.5 * IQR)
  • 箱子的中間線代表中位數。
  • 箱子的上下邊緣分別代表 \(Q_3\) 與 \(Q_1\)。箱子的高度就是四分位距 (\(IQR = Q_3 - Q_1\))。
  • 往外延伸的「鬍鬚」最長延伸至 \(Q_1 - 1.5 \times IQR\) 與 \(Q_3 + 1.5 \times IQR\)。
  • 超出鬍鬚範圍的點點，在統計學上會被定義為離群值 (outlier)，需要臨床人員特別注意。

2.5 實戰演練：血清膽固醇數據分析

現在，我們打開 RStudio，對一組 20 位心臟科患者的模擬血清膽固醇數據進行完整的敘述統計分析。

2.5.1 RStudio 操作說明

  1. 開啟 RStudio，在左上角 File -> New File -> R Script 建立一個新腳本。
  2. 複製以下 R 程式碼，貼入編輯區。
  3. 點選程式碼，按 Ctrl+Enter (Windows) 或 Cmd+Enter (macOS) 執行。

2.5.2 R 程式碼實作

# 1. 載入 ggplot2 繪圖套件
library(ggplot2)

# 2. 輸入 20 位患者的血清膽固醇數值 (mg/dL)
chol_data <- data.frame(
  PatientID = paste0("ID_", 1:20),
  Cholesterol = c(220, 195, 240, 188, 310, 215, 205, 250, 190, 225, 
                  235, 175, 260, 280, 200, 218, 230, 245, 290, 160)
)

# 3. 計算中心趨勢量度
mean_val <- mean(chol_data$Cholesterol)
median_val <- median(chol_data$Cholesterol)

# 4. 計算離散趨勢量度
sd_val <- sd(chol_data$Cholesterol)
var_val <- var(chol_data$Cholesterol)
range_val <- range(chol_data$Cholesterol)
diff_range <- diff(range_val) # 最大值減最小值，即全距
cv_val <- (sd_val / mean_val) * 100

# 5. 印出計算結果
cat("--- 膽固醇數據描述統計結果 ---\n")
cat("算術平均數 (Mean)     :", mean_val, "mg/dL\n")
cat("中位數 (Median)       :", median_val, "mg/dL\n")
cat("標準差 (SD)           :", sd_val, "mg/dL\n")
cat("變異數 (Variance)     :", var_val, "\n")
cat("全距 (Range)          :", range_val[1], "~", range_val[2], " (全距大小 =", diff_range, ")\n")
cat("變異係數 (CV)         :", round(cv_val, 2), "%\n")
cat("-----------------------------\n")

# 6. 使用 ggplot2 繪製直方圖並存檔
h_plot <- ggplot(chol_data, aes(x = Cholesterol)) +
  geom_histogram(binwidth = 20, fill = "#3182ce", color = "white", alpha = 0.8) +
  labs(
    title = "心臟科患者血清膽固醇分布直方圖",
    subtitle = "模擬 20 位患者之膽固醇數據 (mg/dL)",
    x = "血清膽固醇 Serum Cholesterol (mg/dL)",
    y = "患者人數 (Frequency)"
  ) +
  theme_minimal(base_family = "Noto Sans CJK TC", base_size = 15) + # Windows 請替換為 Microsoft JhengHei 
  theme(
    plot.title = element_text(size = 22, hjust = 0.5, color = "#2d3748"),
    plot.subtitle = element_text(size = 16, hjust = 0.5, color = "#718096"),
    axis.title = element_text(size = 18, color = "#4a5568"),
    axis.title.x = element_text(margin = margin(t = 10)),
    axis.title.y = element_text(margin = margin(r = 12)),
    axis.text = element_text(size = 16, color = "#2d3748"),
    panel.background = element_rect(fill = "#f7fafc", color = NA),
    plot.background = element_rect(fill = "white", color = NA),
    plot.margin = margin(20, 28, 20, 54)
  )

ggsave("figs/cholesterol_hist.png", plot = h_plot, width = 7.4, height = 5.4, dpi = 300)

# 7. 使用 ggplot2 繪製箱形圖並存檔
b_plot <- ggplot(chol_data, aes(y = Cholesterol)) +
  geom_boxplot(fill = "#dd6b20", color = "#2d3748", alpha = 0.7, width = 0.3) +
  geom_jitter(aes(x = 0), width = 0.05, color = "#2d3748", alpha = 0.6, size = 2) +
  scale_x_continuous(limits = c(-0.5, 0.5), breaks = NULL) +
  labs(
    title = "心臟科患者血清膽固醇箱形圖",
    subtitle = "呈現數據之五數綜合與離群值 (mg/dL)",
    x = "",
    y = "血清膽固醇 Serum Cholesterol (mg/dL)"
  ) +
  theme_minimal(base_family = "Noto Sans CJK TC", base_size = 15) + # Windows 請替換為 Microsoft JhengHei
  theme(
    plot.title = element_text(size = 22, hjust = 0.5, color = "#2d3748"),
    plot.subtitle = element_text(size = 16, hjust = 0.5, color = "#718096"),
    axis.title = element_text(size = 18, color = "#4a5568"),
    axis.title.x = element_text(margin = margin(t = 10)),
    axis.title.y = element_text(margin = margin(r = 12)),
    axis.text = element_text(size = 16, color = "#2d3748"),
    panel.background = element_rect(fill = "#f7fafc", color = NA),
    plot.background = element_rect(fill = "white", color = NA),
    plot.margin = margin(20, 28, 20, 54)
  )

ggsave("figs/cholesterol_box.png", plot = b_plot, width = 5.4, height = 6.1, dpi = 300)

2.5.3 執行結果與圖表解讀

當你在 R 控制台執行上述程式碼後，會輸出以下數值摘要：

--- 膽固醇數據描述統計結果 ---
算術平均數 (Mean)     : 227.05 mg/dL
中位數 (Median)       : 222.5 mg/dL
標準差 (SD)           : 40.71657 mg/dL
變異數 (Variance)     : 1657.839 
全距 (Range)          : 160 ~ 310  (全距大小 = 150 )
變異係數 (CV)         : 17.93 %
-----------------------------

同時，你的 figs/ 資料夾下會生成以下兩張精美的繪圖：

Figure 2.1: 血清膽固醇分布直方圖
Figure 2.2: 血清膽固醇箱形圖

數據診斷分析：

  1. 分佈型態：我們的平均膽固醇是 227.05 mg/dL，中位數是 222.5 mg/dL。平均數略大於中位數，且從直方圖可以看出，分佈的右側（高數值端）稍微拉得比較長，這是一個輕微的右偏（正偏）分佈。
  2. 臨床離群值：在箱形圖中，雖然 310 mg/dL 這位患者（ID_5）的數值偏高，但並未超出箱形圖上限（\(Q_3 + 1.5 \times IQR\)），因此在本範例中並未判定出嚴格的統計離群值。不過在臨床實務上，膽固醇高於 240 mg/dL 已屬於高膽固醇血症，需要特別加以衛教與控制！

2.6 本章名詞對照表 (Glossary)

中文名稱 英文名稱 定義與說明
位置量度 / 中心趨勢 Measures of location / Central tendency 描述一組數據核心集中位置的統計指標。
算術平均數 Arithmetic mean 所有數值之和除以數值個數所得的數值。
中位數 Median 數據從小到大排序後，位於最中間的數值。
眾數 Mode 數據集中出現次數或頻率最高的數值。
幾何平均數 Geometric mean 數據相乘後開 n 次方根所得的值，常用於對數級數成長的生物數據。
離散趨勢 Measures of spread / Dispersion 描述數據分布分散、波動或變異程度的指標。
全距 Range 數據集中最大值與最小值的差。
變異數 Variance 各數據與平均數離差平方的平均值（分母使用自由度 n-1）。
標準差 Standard deviation 變異數的平方根，表示數據的平均波動幅度。
變異係數 Coefficient of variation (CV) 標準差與平均數的比值，用百分比表示，便於比較不同單位之相對變異。
直方圖 Histogram 以矩形的寬度表示組距，高度表示頻數或頻率的統計分佈圖表。
箱形圖 (盒鬚圖) Box plot (Box-and-whisker plot) 呈現數據五數綜合（最小、Q1、中位、Q3、最大值）的統計圖表。
四分位距 Interquartile range (IQR) 第三四分位數與第一四分位數的差（Q3 - Q1），代表中間 50% 數據的寬度。
離群值 (極端值) Outlier 在統計上偏離其他觀測值非常遠的奇特數值。
右偏分布 (正偏分布) Positively skewed / Right-skewed 數據分布尾巴向右側（大數值端）拉長的偏態分布。
左偏分布 (負偏分布) Negatively skewed / Left-skewed 數據分布尾巴向左側（小數值端）拉長的偏態分布。