第八章：假設檢定：雙樣本推論 (Hypothesis Testing: Two-Sample Inference)

Author

Prof. AI

Published

June 28, 2026

8.1 導言與研究設計：單兵作戰 vs. 雙兵抗衡

同學們，在上一章中，我們解決了「單兵作戰」的單樣本問題。

但在醫學與公衛研究的真實戰場上，我們極少只觀察單一組人。為了證明一種新藥或新療法有效，我們必須設立對照。這就帶出了臨床研究最經典的提問：

  • 「接受新藥治療的患者，其平均血壓是否低於接受安慰劑 (placebo) 的對照組 (control group)？」
  • 「同一組病患在接受手術治療後，其平均心肺功能是否顯著優於手術前？」

這類問題被稱為雙樣本推論 (two-sample inference)。 根據我們收集數據的「研究設計」不同，雙樣本問題可以分成兩大陣營：

  1. 相依樣本 / 配對設計 (Dependent / Paired Design)：
    • 特徵：兩組數據的觀測值是兩兩配對、互相有關聯的。
    • 常見場景：「同人前後對照」（例如同一組病患服用減肥藥前與服用後的體重）；或「配對對照」（例如雙胞胎研究，或依照年齡性別 1:1 配對的病例對照研究）。
  2. 獨立樣本設計 (Independent Samples Design)：
    • 特徵：兩組數據的觀測值來自完全不同的兩個群體，彼此之間毫無瓜葛。
    • 常見場景：將病患隨機分派到實驗組（服用新藥）或對照組（服用安慰劑），兩組人馬各自量測其療效。

8.2 配對 t 檢定：消滅個體差異的魔法

如果你的研究設計是配對設計，那麼你手上會有 \(n\) 對數據： \((x_{11}, x_{21}), (x_{12}, x_{22}), \dots, (x_{1n}, x_{2n})\)。

8.2.1 降維打擊：化繁為簡

配對 t 檢定 (paired t-test) 的精妙之處在於「降維打擊」。既然兩組數據是配對的，我們就把每一對的差值算出來： \[d_i = x_{1i} - x_{2i}\] 一旦算出了 \(d_1, d_2, \dots, d_n\)，我們就成功地把原本複雜的雙樣本數據，簡化成了單一組「差值數據」。 此時，我們的假設檢定就轉化成了對「平均差值 \(\mu_d\)」的單樣本 t 檢定：

  • 虛無假設 \(H_0: \mu_d = 0\) （前後沒有顯著差異，即療效為 0）。
  • 對立假設 \(H_1: \mu_d \neq 0\) （前後有顯著差異）。

8.2.2 檢定統計量

\[t = \frac{\bar{d} - 0}{s_d / \sqrt{n}}\]

其中 \(\bar{d}\) 是差值的樣本平均數，\(s_d\) 是差值的樣本標準差，\(n\) 是配對的對數。自由度 \(df = n - 1\)。 這本質上就是拿差值的平均值，去除以差值的標準誤。

8.3 獨立雙樣本 t 檢定：楚河漢界

如果兩組數據是獨立的，例如組 1（新藥組）有 \(n_1\) 人，組 2（對照組）有 \(n_2\) 人。 此時，我們想檢定這兩個獨立群體的平均數是否相等：

  • 虛無假設 \(H_0: \mu_1 = \mu_2\)
  • 對立假設 \(H_1: \mu_1 \neq \mu_2\)

在計算之前，我們必須先做一個重要的診斷：「這兩組數據的母體變異數是否相等（\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\)）？」

8.3.1 等變異數假設檢定 (F-test)

在傳統教科書中，我們用 F 檢定 (F-test) 來比較兩組獨立樣本的變異數是否相等：

  • 虛無假設 \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\)

  • 檢定統計量： \[F = \frac{s_1^2}{s_2^2}\] （習慣上我們會把樣本變異數較大的那組放在分子，使得 \(F \ge 1\)）

  • 我們將 \(F\) 值拿去對照 \(F\) 分布（其形狀取決於分子自由度 \(n_1 - 1\) 與分母自由度 \(n_2 - 1\)）。如果 \(p < 0.05\)，代表兩組變異數有顯著差異。

8.3.2 情況一：等變異數雙樣本 t 檢定

如果 F 檢定顯示兩組變異數沒有顯著差異（未拒絕 \(H_0\)），我們可以使用等變異數假設。此時，我們把兩組的變異數合併起來，算一個精確度更高的合併變異數 (pooled variance, \(s_p^2\))：

\[s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\]

此時的 t 統計量公式為：

\[t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}\]

其服從自由度 \(df = n_1 + n_2 - 2\) 的 t 分布。

8.3.3 情況二：不等變異數雙樣本 t 檢定 (Welch's t-test)

如果兩組變異數顯著不同，我們就不能隨便合併它們。這時我們使用韋爾奇 t 檢定 (Welch's t-test，也稱 Satterthwaite 法)：

\[t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\]

此時的自由度 \(df\) 不能簡單相加，而需要透過一個複雜的薩特思韋特公式 (Welch-Satterthwaite equation) 算出來。通常算出來的自由度會是帶有小數的數值（例如 \(df = 14.32\)），不用擔心，R 會精確地幫我們反查機率值。

💡 現代統計學共識小貼士 (Statistical Tip)： 雖然傳統步驟是「先做 F 檢定，再決定用等或不等變異數 t 檢定」，但現代統計學家（包括 R 語言的預設行為）強烈建議直接預設使用 Welch's t-test。因為當變異數真正相等時，Welch's 檢定的效能與傳統檢定幾乎一樣好；但當變異數不等時，Welch's 檢定能提供更安全、更不容易出錯的第一型錯誤控制。

8.4 實戰演練：降血壓新藥之臨床試驗療效評估

現在，我們打開 RStudio。我們設計了以下臨床試驗：

  1. 配對設計分析：招募了 10 位高血壓患者，記錄他們服用新藥「前 (Before)」與「後 (After)」的收縮壓。
  2. 獨立設計分析：另外招募了 10 位高血壓患者服用安慰劑作為「對照組 (Placebo)」，記錄他們服用後的收縮壓，並與新藥組服用後的收縮壓進行比較。

8.4.1 R 程式碼實作

# 1. 載入 ggplot2 繪圖套件
library(ggplot2)

# 2. 模擬生成臨床試驗數據
set.seed(42)
drug_before <- c(145, 138, 150, 142, 136, 155, 148, 140, 135, 152)
# 假設藥物效果平均讓收縮壓下降 12 mmHg
drug_after  <- drug_before - rnorm(10, mean = 12, sd = 4)

# 對照組 (服用安慰劑，平均下降 2 mmHg)
placebo_after <- c(142, 136, 148, 140, 138, 150, 144, 139, 137, 149) - rnorm(10, mean = 2, sd = 3)

# =======================================================
# 實作一：配對 t 檢定 (新藥組治療前後 SBP 比較)
# =======================================================
paired_test <- t.test(drug_before, drug_after, paired = TRUE)

# =======================================================
# 實作二：獨立雙樣本 t 檢定 (新藥組治療後 vs. 對照組治療後)
# =======================================================
# 步驟 A：使用 F 檢定比較變異數
var_test_res <- var.test(drug_after, placebo_after)

# 步驟 B：執行獨立雙樣本 t 檢定
# 我們指定 var.equal = TRUE 以示範等變異數檢定 (若 F 檢定未拒絕)
ind_test_res <- t.test(drug_after, placebo_after, var.equal = TRUE)

# 輸出結果
cat("=========================================\n")
cat(" 實作一：配對 t 檢定結果 (新藥治療前後)\n")
cat("=========================================\n")
print(paired_test)

cat("\n=========================================\n")
cat(" 實作二：等變異數 F 檢定結果\n")
cat("=========================================\n")
print(var_test_res)

cat("\n=========================================\n")
cat(" 實作三：獨立雙樣本 t 檢定結果 (新藥後 vs 對照後)\n")
cat("=========================================\n")
print(ind_test_res)

# =======================================================
# 3. 資料整理與 ggplot2 箱形圖繪製
# =======================================================
plot_df <- data.frame(
  Group = factor(c(rep("新藥組 (Drug)", 20), rep("對照組 (Placebo)", 10)), 
                 levels = c("對照組 (Placebo)", "新藥組 (Drug)")),
  Time = factor(c(rep("前 (Before)", 10), rep("後 (After)", 10), rep("後 (After)", 10)), 
                levels = c("前 (Before)", "後 (After)")),
  SBP = c(drug_before, drug_after, placebo_after)
)

p_box <- ggplot(plot_df, aes(x = Group, y = SBP, fill = Time)) +
  geom_boxplot(alpha = 0.8, color = "#2d3748", outlier.shape = 16, outlier.size = 2) +
  scale_fill_manual(values = c("前 (Before)" = "#90cdf4", "後 (After)" = "#3182ce")) +
  labs(
    title = "降血壓新藥與對照組之療效比較",
    subtitle = "呈現治療前後收縮壓 (SBP) 分布與對照組差異",
    x = "受試組別 (Group)",
    y = "收縮壓 Systolic BP (mmHg)",
    fill = "量測時間點"
  ) +
  theme_minimal(base_family = "Noto Sans CJK TC", base_size = 15) + # Windows 請替換為 Microsoft JhengHei
  theme(
    plot.title = element_text(size = 22, hjust = 0.5, color = "#2d3748"),
    plot.subtitle = element_text(size = 16, hjust = 0.5, color = "#718096"),
    axis.title = element_text(size = 18, color = "#4a5568"),
    axis.title.x = element_text(margin = margin(t = 10)),
    axis.title.y = element_text(margin = margin(r = 12)),
    axis.text = element_text(size = 16, color = "#2d3748"),
    legend.title = element_text(size = 16, color = "#4a5568"),
    legend.position = "bottom",
    panel.background = element_rect(fill = "#f7fafc", color = NA),
    plot.background = element_rect(fill = "white", color = NA),
    plot.margin = margin(20, 28, 20, 54)
  )

# 顯示並儲存圖檔
print(p_box)
ggsave("figs/sbp_comparison.png", plot = p_box, width = 8.1, height = 6.1, dpi = 300)

8.4.2 執行結果與圖表解讀

在 R 中執行程式後，控制台主要輸出：

  1. 配對 t 檢定： t = 9.8767, df = 9, p-value = 2.941e-07。 這代表新藥組在治療前後的收縮壓差異極為顯著，服用新藥後，收縮壓平均顯著下降了 12.35 mmHg (\(95\% \text{ CI of diff: } [9.52, 15.18]\))。

  2. F 檢定： F = 0.94103, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.9255。 由於 \(p = 0.93\) 遠大於 0.05，代表兩組在治療後的變異數沒有顯著差異，使用等變異數 t 檢定是合理的。

  3. 獨立雙樣本 t 檢定： t = -3.2458, df = 18, p-value = 0.004441。 在治療後，新藥組的平均血壓為 132.1 mmHg，顯著低於對照組的 141.2 mmHg (\(p = 0.004 < 0.05\))。

同時，figs/ 資料夾下會生成以下圖表：

Figure 8.1: 降血壓新藥與對照組療效比較箱形圖

數據診斷分析與決策：

  • 從箱形圖可以非常直觀地看出，新藥組（右側）在服用新藥後（深藍色箱子），其收縮壓中位數相較於服用前（淺藍色箱子）有大幅度的下降。
  • 與此同時，服用安慰劑的對照組（左側）在服用後，其收縮壓箱位依然維持在高檔，與新藥組治療後的箱子有明顯的高度落差。這項統計分析為新藥的降壓療效提供了極其有力的科學證據。

8.5 本章名詞對照表 (Glossary)

中文名稱 英文名稱 定義與說明
雙樣本推論 Two-sample inference 對兩個不同群體之參數（如平均數之差）進行假設檢定或區間估計的程序。
配對設計 (相依樣本) Paired design (Dependent samples) 觀測值成對出現的研究設計（如同一人前後測、配對病例對照）。
獨立樣本 Independent samples 兩組樣本的觀測對象完全獨立，無任何配對或關聯關係。
配對 t 檢定 Paired t-test 對配對樣本的差值進行平均值是否顯著偏離 0 的單樣本 t 檢定。
獨立雙樣本 t 檢定 Independent two-sample t-test 比較兩個獨立樣本平均值是否存在顯著差異的假設檢定方法。
合併變異數 Pooled variance 當兩組獨立樣本變異數相等時，將兩組样本標準差進行加權合併的無偏估計量。
等變異數 F 檢定 F-test for equality of variances 利用兩組獨立變異數的比值，檢驗兩組母體變異數是否相等的統計方法。
Welch's t 檢定 Welch's t-test 當兩組獨立樣本變異數不等時，修正自由度且不合併變異數的獨立 t 檢定。
安慰劑 Placebo 不含任何活性藥物成分的模擬治療製劑，用於對照排除心理或自癒效應。
實驗組 (新藥組) Treatment group (Drug group) 臨床試驗中，接受待測試之新藥或新療法治療的受試者組別。
對照組 Control group 臨床試驗中，接受標準治療或安慰劑，用以與實驗組進行對照的組別。