第九章：無母數方法 (Nonparametric Methods)

Author

Prof. AI

Published

June 29, 2026

9.1 導言：當常態假設崩潰時

同學們，在前兩章中，不論我們是做單樣本還是雙樣本的 t 檢定，背後都有一個默默支持我們的靈魂假設——常態假設 (normality assumption)。也就是說，我們默認我們的連續型數據（如體溫、血壓）在母體中是服從常態分布的。

但是，現實的臨床世界往往非常殘酷：

  1. 樣本數太小：很多罕見病研究，受試者只有 10 個人，你根本無法驗證數據是不是常態分布。
  2. 數據嚴重偏態或有極端離群值：例如患者的住院天數、醫療花費，通常有少數人花費極高，直方圖右邊拉得長長的。
  3. 等級資料 (ordinal data)：這在醫學與護理研究中最為常見！例如：
    • 患者的疼痛指數（1-10 分，10 代表最痛）。
    • 癌症的臨床分期（I, II, III, IV 期）。
    • 問卷滿意度（非常不滿意、不滿意、普通、滿意、非常滿意）。 這些數據只有大小順序關係，不能進行「相加求平均」的數學運算（你不能說癌症二期加癌症四期除以二等於癌症三期！）。

當遇到這些情況時，傳統的 t 檢定（母數方法，parametric methods）就會失效。這時，我們需要無母數方法 (nonparametric methods，又稱非參數方法)。

無母數方法是不受特定機率分布限制的（distribution-free），它不需要假設母體是常態分布。它的核心邏輯非常簡單粗暴：「把原始數值丟掉，只留下它們的『符號』或『大小排名 (Rank)』！」

9.2 符號檢定：只問成敗，不問細節

符號檢定 (sign test) 是無母數方法中最簡單的一種，適用於配對設計。

9.2.1 符號檢定的核心邏輯

想像我們有 10 位關節炎患者，接受了一種新的止痛貼片。我們記錄他們貼片「後」相較於貼片「前」的疼痛變化：

  • 如果疼痛減輕了，我們記為「正號（+）」。

  • 如果疼痛加劇了，我們記為「負號（-）」。

  • 如果沒有變化，我們排除不計。

  • 虛無假設 \(H_0\)：貼片完全沒有效果。這意味著疼痛減輕（+）或加劇（-）的機率各為 50% (\(p = 0.5\))。

  • 檢定方法：我們數一數總共有幾個正號。這其實就轉化成了一個非常簡單的二項分布 \(B(n, 0.5)\) 的機率計算！

符號檢定非常安全、好懂，但缺點是「浪費了太多資訊」。如果患者 A 疼痛分數降了 8 分，患者 B 只降了 1 分，在符號檢定中，他們都被記為一個簡單的「+」，這顯然有點委屈。

9.3 威爾科克森符號等級檢定：結合方向與程度的魔法

為了解決符號檢定浪費資訊的缺點，統計學家威爾科克森（Wilcoxon）設計了符號等級檢定 (Wilcoxon signed-rank test)，適用於配對樣本。

9.3.1 計算四大步驟

  1. 計算差值：算出每對配對數據的差值 \(d_i = x_{1i} - x_{2i}\)。
  2. 排除零值並取絕對值：將差值為 0 的個案剃除。對剩下的差值取絕對值 \(|d_i|\)。
  3. 排序（Rank）：將這些絕對值 \(|d_i|\) 從小到大進行排名，得到等級（Rank，數值越小排名越前面）。
    • 同秩 (ties) 處理：如果有兩個或多個差值的絕對值相同，我們取它們排名的平均值作為它們的等級。
  4. 加總等級：
    • 將原本差值為正數的等級加總，得到 \(T^+\)。
    • 將原本差值為負數的等級加總，得到 \(T^-\)。
    • 在虛無假設 \(H_0\)（沒有療效）為真的世界中，\(T^+\) 與 \(T^-\) 的大小應該要非常接近。如果其中一個遠大於另一個，就代表有顯著差異。

9.4 威爾科克森秩和檢定：獨立樣本的救星

當我們要比較兩組獨立的樣本，且數據不服從常態分布時，我們不能用獨立雙樣本 t 檢定。此時，我們使用威爾科克森秩和檢定 (Wilcoxon rank-sum test，在數學上與 Mann-Whitney U 檢定 等價)。

9.4.1 計算步驟

  1. 合併數據與排名：將兩組獨立的數據（組 1 有 \(n_1\) 人，組 2 有 \(n_2\) 人）合併在一起，從小到大進行總排名（Rank \(1\) 到 \(n_1 + n_2\)）。同樣遇到數值相同者取平均排名。
  2. 分組求和：將排名還原給原本的組別，分別加總兩組的等級和，得到 \(W_1\) 與 \(W_2\)。
  3. 檢定決策：在虛無假設為真（兩組分佈無差異）時，兩組平均的排名應當差不多。利用統計公式，我們可以算得 \(W_1\) 的 p 值，據此決定是否拒絕虛無假設。

9.5 實戰演練：穴位按壓療法之疼痛評分比較

現在，我們打開 RStudio。我們設計了以下疼痛研究：

  • 配對分析：12 位關節炎患者，評估其接受穴位按壓治療「前 (Before)」與「後 (After)」的疼痛感（使用 1-10 疼痛量尺，Ordinal scale）。我們使用 Wilcoxon 符號等級檢定。
  • 獨立樣本分析：另外 12 位患者接受了虛假的假按壓作為「對照組 (Control)」，評估其治療後的疼痛感，並與穴位按壓組治療後的疼痛感進行比較。我們使用 Wilcoxon 秩和檢定。

9.5.1 R 程式碼實作

# 1. 載入 ggplot2 繪圖套件
library(ggplot2)

# 2. 模擬生成疼痛等級數據 (1 到 10 分)
set.seed(88)
pain_before <- c(8, 7, 9, 6, 8, 10, 7, 9, 8, 6, 9, 8)
# 穴位按壓組治療後 (疼痛分數下降)
pain_after  <- c(4, 3, 5, 4, 3,  6, 5, 4, 5, 2, 4, 5)

# 對照組 (假按壓治療後，疼痛分數降幅較小)
pain_control <- c(7, 6, 8, 5, 7, 9, 6, 8, 7, 5, 8, 6)

# =======================================================
# 實作一：配對 Wilcoxon 符號等級檢定 (穴位按壓組前後比較)
# =======================================================
wilcox_paired_res <- wilcox.test(pain_before, pain_after, paired = TRUE)

# =======================================================
# 實作二：獨立樣本 Wilcoxon 秩和檢定 (按壓組後 vs. 對照組後)
# =======================================================
wilcox_ind_res <- wilcox.test(pain_after, pain_control, paired = FALSE)

# 輸出結果
cat("=========================================\n")
cat(" 實作一：Wilcoxon 符號等級檢定結果 (配對)\n")
cat("=========================================\n")
print(wilcox_paired_res)

cat("\n=========================================\n")
cat(" 實作二：Wilcoxon 秩和檢定結果 (獨立雙樣本)\n")
cat("=========================================\n")
print(wilcox_ind_res)

# =======================================================
# 3. 資料整理與 ggplot2 小提琴圖 (Violin Plot) 繪製
# =======================================================
plot_df <- data.frame(
  Group = factor(c(rep("穴位按壓組 (Acupressure)", 24), rep("對照組 (Control)", 12)), 
                 levels = c("對照組 (Control)", "穴位按壓組 (Acupressure)")),
  Time = factor(c(rep("治療前 (Before)", 12), rep("治療後 (After)", 12), rep("治療後 (After)", 12)), 
                levels = c("治療前 (Before)", "治療後 (After)")),
  PainScore = c(pain_before, pain_after, pain_control)
)

p_violin <- ggplot(plot_df, aes(x = Group, y = PainScore, fill = Time)) +
  # 繪製小提琴圖
  geom_violin(trim = FALSE, alpha = 0.7, color = "#2d3748", position = position_dodge(0.8)) +
  # 重疊繪製個別患者的疼痛數據散佈點 (使用 jitter 避免重疊)
  geom_jitter(shape = 16, position = position_dodge(0.8), color = "#1a202c", size = 2, alpha = 0.5) +
  scale_fill_manual(values = c("治療前 (Before)" = "#feb2b2", "治療後 (After)" = "#e53e3e")) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 11), breaks = 1:10) +
  labs(
    title = "穴位按壓與對照組之疼痛感評分比較",
    subtitle = "呈現無母數等級資料 (1-10 疼痛量尺) 之分布與變異",
    x = "受試組別 (Group)",
    y = "疼痛評分 Pain Score (1-10)",
    fill = "量測時間點"
  ) +
  theme_minimal(base_family = "Noto Sans CJK TC", base_size = 12) + # Windows 請替換為 Microsoft JhengHei
  theme(
    plot.title = element_text(size = 15, hjust = 0.5, color = "#2d3748", lineheight = 1.1),
    plot.subtitle = element_text(size = 11, hjust = 0.5, color = "#718096"),
    axis.title = element_text(size = 12, color = "#4a5568"),
    axis.title.x = element_text(margin = margin(t = 10)),
    axis.title.y = element_text(margin = margin(r = 12)),
    axis.text = element_text(size = 11, color = "#2d3748"),
    legend.title = element_text(size = 11, color = "#4a5568"),
    legend.text = element_text(size = 10, color = "#2d3748"),
    legend.position = "bottom",
    panel.background = element_rect(fill = "#f7fafc", color = NA),
    plot.background = element_rect(fill = "white", color = NA),
    plot.margin = margin(20, 28, 20, 54)
  )

# 顯示圖檔
print(p_violin)
Warning in wilcox.test.default(pain_before, pain_after, paired = TRUE): cannot
compute exact p-value with ties
Warning in wilcox.test.default(pain_after, pain_control, paired = FALSE):
cannot compute exact p-value with ties
Warning: Removed 72 rows containing missing values or values outside the scale range
(`geom_violin()`).
=========================================
 實作一：Wilcoxon 符號等級檢定結果 (配對)
=========================================

    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  pain_before and pain_after
V = 78, p-value = 0.002282
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0


=========================================
 實作二：Wilcoxon 秩和檢定結果 (獨立雙樣本)
=========================================

    Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  pain_after and pain_control
W = 7.5, p-value = 0.0001786
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

9.5.2 執行結果與圖表解讀

上方執行區已列出 Wilcoxon 符號等級檢定與 Wilcoxon 秩和檢定的完整結果。兩項檢定都支持穴位按壓組的疼痛改善具有統計學意義，且治療後與對照組相比也呈現明顯差異。

數據診斷分析與決策：

  • 本範例使用小提琴圖 (violin plot) 來視覺化疼痛評分的分佈。小提琴圖的外側寬度代表數據在該分數的機率密度。
  • 從圖中可以看出，按壓組（右側）在治療前（粉紅色小提琴），病患疼痛感集中在 8 分的高位；而在治療後（紅色小提琴），分佈明顯下移，集中在 3-5 分的區間。
  • 相比之下，對照組在治療後（紅色小提琴），疼痛分數大多維持在 6-8 分的相對高位。這與我們的無母數假設檢定結果完全一致，證明了穴位按壓療法的顯著臨床療效。

9.6 本章名詞對照表 (Glossary)

中文名稱 英文名稱 定義與說明
無母數方法 Nonparametric methods 不依賴母體特定機率分布假設（如常態分布）的統計推論方法。
等級資料 (順序資料) Ordinal data 數據只有大小順序意義，但數值間的差值無精確數學度量的資料類型。
符號檢定 Sign test 最簡單的無母數檢定，僅利用配對差值的正負符號方向來進行假設檢定。
符號等級檢定 Wilcoxon signed-rank test 對配對樣本差值絕對值進行大小排名，並加總正負等級以檢定療效的方法。
秩和檢定 Wilcoxon rank-sum test 將兩組獨立樣本合併排名，加總某一組的等級和，用以檢定兩組分佈是否相同的無母數方法。
同秩 Ties 當不同個案的觀測數值相同，導致其排名（Rank）並列相同的狀況。
小提琴圖 Violin plot 結合了箱形圖與核密度估計，能同時展示數據分佈形狀與機率密度的統計圖表。
等級 / 秩 Rank 數據從小到大排序後所獲得的序數名次。
偏態分布 Skewed distribution 數據分布不對稱，尾巴偏向某一側的機率分布。